#7 双対空間 テンソルから始める一般相対論

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~双対空間とはなんぞや~

基底は線型独立ならどれを選んでよかったが、特に
e_i\cdot e_j=\delta_{ij}
を満たすものを標準基底や自然基底という。δは紹介したときと形が違うがクロネッカーのデルタである。幾何ベクトルでいえば、大きさが1(自身との内積1:正規)で他と直角(他との内積0:直交)であるベクトルのことだ。直交座標系の基本ベクトルだと思ってくれればいい。この標準基底は次のような性質をもつ。
標準基底e₁,e₂が張る線型空間Vの元u:=u^ie_iについて
u\cdot e_j=u^ie_i\cdot e_j=u^i\delta_{ij}=u_j
と、標準基底ではベクトルとある基底の内積をとるとベクトルのその基底の成分が取り出せる。(添字の位置が違うと思ったかもしれないが内積をとった基底と同じ添字の成分がとりだせることが重要であるため今は気にしなくていい。ちなみに後でわかるが標準基底ではu_j=u^jが成り立つ。)
話を戻すと、例えば、ある3次元線型空間Wがあり、標準基底e₁,e₂,e₃を基底として、Wの元e_1+3e_2-e_3e_2内積はe₂の成分の3になる。
しかし、今まで考えてきた基底は非直交、非正規であり、一般に基底はこの性質を持たない。試しに線型空間Vの標準基底e₁,e₂を基底a_1:=e_1+e_2,a_2:=-e_1+2e_2に取り換えて、Vの元v:=2a_1+3a_2とa₁の内積を取ってみる。
v\cdot a_1=\left\{2\left\{e_1+e_2\right\}+3\left\{-e_1+2e_2\right\}\right\}\cdot\left\{e_1+e_2\right\}\\=\left\{-e_1+8e_2\right\}\cdot\left\{e_1+e_2\right\}=7
あの性質を持つならa₁の成分である2になるが7になった。一般の基底ではあの性質を持たないことがわかった。ここで新しい概念を考える。
a_i\cdot a^j=\delta^j{}_i
これを満たすa^ia_i双対基底という。これを考えると先程のvについて、
v\cdot a^j=v^ia_i\cdot a^j=v^i\delta^j{}_i=v^j
と、最初に示した性質のようなものが得られる。
実際にa^iを求めてみよう。a^1:=xe^1+ye^2,a^2:=me^1+ne^2として、双対基底の定義を展開すると次の連立方程式が導き出される。
\begin{cases}x+y=1\\-x+2y=0\\m+n=0\\-m+2n=1\end{cases}
これを解くと
x={2\over3}\\y={1\over3}\\m=-{1\over3}\\n={1\over3}
よって、a^iはそれぞれ
a^1={1\over3}\left\{2e^1+e^2\right\}\\a^2={1\over3}\left\{-e^1+e^2\right\}
となる。定義からもわかるが、a^ia_iで、添字が異なるものは直交しているのがわかるだろうか。
最初の内積をとるものをe^iに変えると、
e_i\cdot e^j=\delta^j{}_i
となるが、添字の位置は違えど結果は同じになるためe^i=e_iになることがわかるだろうか。つまり標準基底自分自身が双対基底と考えられる。u_j=u^jのときもそうだったが自由標の位置が等式の左右で違うがいいのと思ったかもしれないが、標準基底では成り立つことがわかる。
さてここで線型空間Vの基底a_iの双対基底a^iを基底とした線型空間V*を考える。このV*は次のような性質をもつことにする。
Vの基底a_ia'_iに取り換えたら、a^ia'^iといったように連動して取り換え、取り換えた基底同士で
a'_i\cdot a'^j=\delta^j{}_i
が成り立つ。a_i':=S^j{}_ia_jとすると、S^j{}_iT^i{}_k=\delta^j{}_kを満たすT^i{}_jを使ってa'^i=T^i{}_ja^jが成り立つことがわかる。
この取り換えの規則をもつV*をVの双対空間という。具体的に双対空間の元は
v=v_ia^i
のような形をしている。双対空間の基底の取り換えと成分の書き換えもみてみよう。ある線型空間の基底の取り換えと成分の書き換えが

基底 成分
a'_i=S^j{}_ia_j x'^i=T^i{}_kx^k

と表せるとき、その双対空間の基底の取り換えと成分の書き換えは次のようになることが分かる。

基底 成分
a'^i=T^i{}_ja^j x'_i=S^k{}_ix_k


参考
一般相対性理論を一歩一歩数式で理解する
https://www.beret.co.jp/books/detail/638
著者うべゆうとのメイン数学物理学ブログ「考え」
https://ubeyuto.hatenablog.com
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